Среди задач занимательной математики имеются такие, в которых требуется разделить геометрические фигуры на части таким образом, чтобы из них собирались другие фигуры. Ну, например, квадрат нужно разделить на фрагменты, из которых можно было бы собрать равносторонний треугольник. С недавних пор химиков также увлекли подобные головоломки.

Такие головоломки появились тысячелетия назад. Так, история возникновения задачи по разделению двух одинаковых квадратов на четыре части для формирования одного большого квадрата восходит, по крайней мере, ко временам греческого философа Платона (427-347 до н.э.), в X веке арабские математики описали несколько подобных задач в своих комментариях к "Началам" Евклида. Аналогичным образом проводились поиски доказательств теоремы Пифагора. А в XIX веке такие головоломки стали чрезвычайно популярным разделом в газетах и журналах.

Задачи по разделению могут быть достаточно сложными: семиконечная звезда становится двумя семиугольниками; двенадцатиугольник превращается в три идентичных квадрата и тому подобное. Можно вводить некоторые ограничения, например, части должны быть определенным образом соединены друг с другом. В трансформации квадрат-треугольник связанные между собой объекты могут образовывать нечто вроде цепи. При сближении фрагментов в одном направлении получается квадрат, движение их в обратном направлении приводит к образованию треугольника (анимированную версию таких превращений можно посмотреть здесь).

Химики тоже решили поиграть в такие головоломки. В качестве новой стратегии получения небольших объектов, обладающих свойствами самоорганизации в различные упорядоченные структуры, ученые из Гарвардского университета использовали разработанную ими физическую систему, совершающую преобразования фигур, характерные для головоломок. Система состоит из пластинок, изготовленных из пластика в смеси с окисью алюминия, и двух несмешивающихся жидкостей: воды и плотного маслянистого перфтордекалина (ПФД). Вода, имея плотность 1.00 г/см ³, находится на поверхности перфтордекалина, плотность которого равна 1.91 г/см ³. Пластинки, обладая плотностью 1.65 г/см ³, взвешены между двумя жидкостями.

Хитрость функционирования системы состоит в том, что одни края пластинок в результате специальной обработки делают гидрофильными ("любящими" воду), а другие - гидрофобными ("боящимися" воды). Края, близкие по свойствам, стремятся слипаться друг с другом, и таким образом пластинки могут спонтанно самоорганизовываться в более крупные структуры.

Если центр тяжести пластинок находится ниже межфазовой границы, и большая часть пластинок погружена в ПФД, то между собой соединяются их гидрофильные края. При увеличении плотности воды за счет добавления соли, например, метавольфрамата натрия, происходит постепенное всплывание пластинок. Когда их центр тяжести окажется выше межфазной границы, то происходит слипание гидрофобных краев. Регулируя плотность водной фазы, удается получать различные типы структур (см. фотографию). В случае, если пластинки определенных форм скреплены между собой нитями для уменьшения вероятности их неправильного движения, становится возможным осуществление и описанной выше трансформации квадрат-треугольник.

Очевидно, что такой химический подход не вносит никакого вклада в теорию решения геометрических задач, ведь в данном случае для успешного функционирования комплекса частиц необходимо предварительно знать правильный ответ. Однако такие физические системы демонстрируют возможности и пути решения задач самосборки малых объектов в различные организованные структуры.

Science News 2003, Vol. 163, No. 4

По материалам Science News Online

Г.П.