Есть ли возможность поступить в аспирантуру в России с казахстанским дипломом магистра?
В платную - с очень большой вероятностью (в частности, условия в МГУ см на стр. http://www.msu.ru/en/admissions/ и на сайтах факультетов), а вот на обычных основаниях - скорее всего, нет. Напр., в МГУ, где с гражданством СНГ вроде бы все еще можно бесплатно учиться в качестве студента, похоже, в аспирантуре можно учиться лишь за деньги: "Иностранные граждане, в т.ч. граждане стран СНГ, принимаются в аспирантуру на договорной основе." ( http://www.msu.ru/entrance/prp.html ).
Лучше узнавать непосредственно в тех вузах, которые интересуют.