На нашем сайте 10.08.01. сообщалось, что "число ПИ содержит всё - причем поровну!" Ученым из Японии удалось значительно продвинуться в проведении численных экспериментов с этим, знакомым каждому со школьной скамьи трансцендентным числом.

Число p представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. Начинаясь с 3.1415926535897932384, число продолжается далее до бесконечности, причем ученые не останавливаются в своих попытках рассчитать настолько много цифр этого числа, насколько это позволяют современные компьютерные технологии и математические методы.

Математики из Японии во главе с Yasumasa Kanada достигли результата в 1 241 100 000 000 знаков после запятой числа p , побив свой собственный мировой рекорд в 206 158 430 000 знаков, установленный в 1999 году. Расчеты потребовали около 602 часов и проводились на суперкомпьютере с памятью около 1 терабайта. Для вычислений ученые использовали формулу, включающую значение арктангенса p. Например, можно использовать следующее выражение для получения величины arctg (x) с любым желаемым числом знаков после запятой только путем увеличения членов ряда:

arctg(x)=x-x³/3+x⁵/5-x⁷ /7+x⁹...

Величина p затем может быть получена из следующего уравнения:

p=16 arctg(1/5) – 4 arctg(1/239).

Используя две различных формулы, ученые сравнивали результаты для проверки точности вычислений.

Усовершенствование компьютерного алгоритма основных вычислений также сыграло свою роль в получении результата. По мнению Y. Kanada, если бы современный алгоритм был использован в 1999 году, то для расчета 206 миллиардов знаков числа p общее время вычислений на том же самом компьютере можно было бы сократить с 83 до 38 часов.

Последняя 1 241 100 000 000-ная рассчитанная цифра - это цифра "5". Y. Kanada начал анализ статистического распределения всех цифр числа p и опубликовал его предварительные результаты на http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html. Предполагается, что каждая из цифр от 0 до 9 встречается с частотой, составляющей 1/10, то есть цифра 7 должна повторяться 80 миллиардов раз на протяжении первых 800 миллиардов цифр числа p . Фактически же эта величина составляет 79 999 775 965 раз, то есть она очень близка к ожидаемой. Данные для частот повторяемости всех цифр от 0 до 9 на протяжении 800 миллиардов цифр числа p приведены в таблице:

Цифра	Частота
0	79 999 604 459
1	79 999 983 991
2	80 000 456 638
3	79 999 778 661
4	80 000 238 690
5	79 999 773 551
6	79 999 935 320
7	79 999 775 965
8	80 000 650 170
9	79 999 802 555

Этих данных, однако, все еще недостаточно для того, чтобы дать ответы на вопросы о распределении и хаотичности цифр числа p. Пока окончательно не установлено даже, будут ли все цифры появляться и далее бесконечно часто, как полагают Дэвид Бэйли (Калифорния) и Ричард Крандалл (Орегон) в работе

Г.П.